เลขยกกำลัง

เลขยกกำลัง

การยกกำลัง คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง เขียนอยู่ในรูป aⁿ ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวนคือ ฐาน a และ เลขชี้กำลัง (หรือ กำลัง) n การยกกำลังมีความหมายเหมือนการคูณซ้ำ ๆ กัน คือ a คูณกันเป็นจำนวน n ตัว เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก

คล้ายกับการคูณซึ่งมีความหมายเหมือนการบวกซ้ำ ๆ กัน

โดยปกติเลขชี้กำลังจะแสดงเป็นตัวยกอยู่ด้านขวาของฐาน จำนวน aⁿ อ่านว่า a ยกกำลัง n หรือเพียงแค่ a กำลัง n ในภาษาอังกฤษอาจเรียกการยกกำลังบางตัวต่างออกไปเช่น a² จะเรียกว่า square และ a³ เรียกว่า cube เป็นต้น เมื่อตัวยกไม่สามารถใช้ได้เช่นในข้อความแอสกี ก็มีรูปแบบการเขียนอย่างอื่นที่ใช้กันอาทิ a^n และ a**n เป็นต้น

เลขยกกำลัง aⁿ อาจนิยามให้ n เป็นจำนวนเต็มลบก็ได้เมื่อค่า a ไม่เป็นศูนย์ ตามปกติไม่สามารถกระจายจำนวนจริง a กับ n ได้ทุก ๆ ค่าโดยธรรมชาติ แต่เมื่อฐาน a เป็นจำนวนจริงบวก จำนวน aⁿสามารถนิยามเลขชี้กำลัง n ได้ทุกค่าแม้แต่จำนวนเชิงซ้อนผ่านฟังก์ชันเลขชี้กำลัง e^z ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการยกกำลังได้

การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเมทริกซ์ใช้สำหรับการหาคำตอบของระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

การยกกำลังก็ใช้งานในความรู้สาขาอื่นอย่างแพร่หลายเช่นเศรษฐศาสตร์ ชีววิทยา เคมี ฟิสิกส์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ในการใช้งานคำนวณอย่างเช่นดอกเบี้ยทบต้น การเพิ่มประชากรจลนพลศาสตร์เคมี พฤติกรรมของคลื่น และการเข้ารหัสลับแบบกุญแจอสมมาตร เป็นต้น

                                                     วีดีโอประกอบ

แหล่งที่มา http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B3%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%87

วันที่  6  กันยายน 2556

จำนวนและตัวเลข

จำนวนและตัวเลข

 ความหมายของจำนวนนับ

  

                    
 

          จากรูป    จะเห็นว่านกมีจำนวนเท่ากับ  รูปหัวใจ  คือจำนวน  สาม

                  คำว่า  จำนวน  หมายถึงปริมาณที่ทำให้เรามีความรู้สึกว่ามากหรือน้อยซึ่งเป็นนามธรรมและมีความเข้าใจตรงกัน  แต่ชื่อที่เราใช้เรียก "หนึ่ง"   "สอง "   "สาม"  ย่อมแตกต่างกันซึ่งเป็นไปตามธรรมชาติภาษาของชนชาติ นั้น ๆ

                  ตัวเลข  หมายถึง  สัญญลักษณ์ที่ใช้แทนจำนวน  เช่น  จำนวน  สาม  อาจแทนด้วย 3  ๓  หรือ  III ฯลฯ  ก็ได้  ซึ่งก็แล้วแต่ละชนชาติแต่ละภาษา

                  ระบบจำนวนตัวเลขที่เรานิยมใช้กันในปัจจุบันนี้ เป็นระบบเลขฮินดูอารบิค  ซึ่งจะประกอบด้วยตัวเลขโดดจำนวนสิบตัว ได้แก่  0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 เราสามารถนำตัวเลขมาสร้างเป็นจำนวนเลขโดยการเขียนให้อยู่ในตำแหน่งต่าง ๆได้

      

ค่าของตำแหน่งและระบบเลขฐานสิบ  
 

             ตัวเลขแต่ละตัวจะมีค่าเป็นตัวของมันเอง  และจะขึ้นอยู่กับตำแหน่งหลักเลขด้วย  เช่น : -

                   5  ในจำนวน     358  หมายความว่า  เลข  5  มีค่าเป็น  ห้าสิบ  เพราะ 5  อยู่ในตำแหน่งหลักสิบ
                   5  ในจำนวน  4,520  หมายความว่า  เลข  5  มีค่าเป็น  ห้าร้อยเพราะ 5  อยู่ในตำแหน่งหลักร้อย

                   5  ในจำนวน  5,798  หมายความว่า  เลข  5  มีค่าเป็น  ห้าพันเพราะ 5  อยู่ในตำแหน่งหลักพัน
                                         ฯลฯ

            ในระบบเลขฐานสิบนี้  7,594 มีความหมายว่า  มีหมู่ละพัน  7  หมู่  หมู่ละ   ร้อย  5 หมู่   หมู่ละสิบ 9  หมู่  และ    หมู่ละ หนึ่ง  4  หมู่

           ซึ่งจะเป็นออกมาในรูปของสัญญลักษณ์ได้ดังต่อไปนี้คือ

               7,594= ( 7 x 1000)  +   ( 5  x 100) +   (9 x 10) + (4 x 1)                 

                         =  7,000 + 5,000 +90 + 4

                         =  7,594

              หริอ จำนวน   19,837   มีความหมายว่า   มีหมู่ละหมื่น  1  หมู่  หมู่ละพัน  9   หมู่  หมู่ละร้อย  8  หมู่  หมู่ละสิบ  3  หมู่  และหมู่ละหนึ่ง 7  หมู่  ซึ่งก็คือ

    19,837= (1 x 10,000) + (9x 1000) + (8x 100) + (3 x 10) + (7x1)

               =10,000+9,000+800+30+7

               = 19,837

       

       ตัวอย่าง   ตัวเลข  8  ในจำนวน  28,965  จะต่างกับ  ตัวเลข 8  จากจำนวน  3,856  อยู่เท่าใด

       แนวคิด    ตัวเลข  8  จากจำนวน  28,965  จะมีค่า = 8,000  เพราะตัวเลข 8  อยู่หลักพัน

                      ตัวเลข  8 จากจำนวน     3'856   จะมีค่า = 800     เพราะตัวเลข 8  อยู่หลักร้อย
             . ^. . ตัวเลข  8  ในทั้งสองจำนวน จึงแตกต่างกัน = 8,000 - 800 = 7,200    

วีดีโอ จำนวนและตัวเลข         

                                                                                                                                         

แหล่งที่มา http://203.172.205.25/ftp/intranet/mc41/education/part6_01_1.htm
วันที่ 6 กันยายน 2556

แผนภูมิแท่งและแผนภูมิรูปภาพ

                แผนภูมิแท่ง  คือ แผนภูมิที่ประกอบด้วย แกนสองแกน คือแกนนอนและแกนตั้ง และรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้างของแต่ละรูปเท่ากัน ส่วนความยาวจะแปรตามขนาดของข้อมูล เรียกรูปสี่เหลี่ยมแต่ละรูปนี้ว่า แท่ง (bar)  การนำเสนอข้อมูลอาจจัดให้แท่งแต่ละแท่งอยู่ในแนวตั้ง  หรือแนวนอนก็ได้ โดยวางเรียงให้ชิดกันหรือห่างกันเล็กน้อยเท่าๆ กันก็ได้   พร้อมทั้งเขียนรายละเอียดของแต่ละแท่งกำกับไว้ นอกจากนี้ เพื่อความสวยงาม อาจจะใช้วิธีแรเงาหรือระบายสี เพื่อให้ดูสวยงามและสะดวกในการศึกษาเปรียบเทียบ

ข้อมูลที่เหมาะสำหรับการใช้แผนภูมิแท่งในการนำเสนอข้อมูล ได้แก่ ข้อมูลที่จำแนกตามคุณภาพ  ตามกาลเวลา  และตามภูมิศาสตร์

แผนภูมิแท่งจำแนกได้หลายประเภท ได้แก่  แผนภูมิแท่งเชิงเดียว  แผนภูมิแท่งเชิงซ้อน  แผนภูมิแท่งส่วนประกอบ  แผนภูมิแท่งบวก-ลบ  แผนภูมิแท่งซ้อนกัน  แผนภูมิแท่งปิระมิด  ในชั้นนี้จะกล่าวถึงแผนภูมิแท่งเชิงเดียวและแผนภูมิแท่งเชิงซ้อนเท่านั้น            

     1)   แผนภูมิแท่งเชิงเดียว  หมายถึง แผนภูมิที่ใช้สำหรับข้อมูลชุดเดียว และแสดงลักษณะของข้อมูลที่สนใจ เพียงลักษณะเดียว เช่น ความถี่  จำนวนเงิน  จำนวนภาษี  มูลค่าการส่งออก  เป็นต้น

   2)    แผนภูมิเชิงซ้อน  หมายถึง แผนภูมิแท่งที่แสดงการเปรียบเทียบของข้อมูลสองชุดขึ้นไป หรือเปรียบเทียบลักษณะของข้อมูลที่เราสนใจตั้งแต่สองลักษณะขึ้นไป บนแกนเดียวกัน  เช่น  เปรียบเทียบรายรับรายจ่าย  เปรียบเทียบจำนวนนักเรียนชายกับจำนวนนักเรียนหญิง เป็นต้น        

               แผนภูมิรูปภาพ  คือ แผนภูมิที่ใช้รูปภาพแทนจำนวนของข้อมูลที่นำเสนอ เช่น แผนภูมิรูปภาพคน รูปภาพคน 1 คน แสดงประชากรที่นำเสนอ 1 ล้านคน เป็นต้น 

การเขียนแผนภูมิรูปภาพ อาจกำหนดให้รูปภาพ 1 รูปแทนจำนวนสิ่งของ 1 หน่วยหรือหลายหน่วยก็ได้แต่ละรูปต้องมีขนาดเท่ากันเสมอ

ขั้นตอนการเขียนแผนภูมิรูปภาพ

1. อ่านข้อมูลที่ได้มาให้เข้าใจ

2. พิจารณาว่าจะต้องวาดรูปภาพอะไรบ้าง โดยรูปที่วาดนั้นต้องเป็นเรื่องเดียวกับข้อมูลที่ได้มา

3. กำหนดเงื่อนไขว่าให้รูปภาพ 1 รูป แทนจำนวนสิ่งของเท่าใด

4. พิจารณาว่าต้องวาดรุปกี่รูป แทนจำนวนสิ่งของแต่ละชนิด

5. เริ่มเขียนแผนภูมิรูปภาพ โดยเริ่มกำหนดชื่อแผนภูมิ ตัวแผนภูมิ รูปภาพ และเงื่อนไข ตามลำดับ

6. รูปภาพที่วาดนั้นจะต้องมีขนาดเท่ากัน

รูปภาพตัวอย่าง

- แผนภูมิแท่ง

- แผนภูมิรูปภาพ

อ้างอิง

http://www.trueplookpanya.com/new/cms_detail/knowledge/2153-00/
http://www.thaigoodview.com
http://www.sema.go.th

วันศุกร์ที่ 16 สิงหาคม 2556

การคูณ

การคูณ คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง ทำให้เกิดการเพิ่มหรือลดจำนวนจำนวนหนึ่งเป็นอัตรา การคูณเป็นหนึ่งในสี่ของการดำเนินการพื้นฐานของเลขคณิตมูลฐาน(การดำเนินการอย่างอื่นได้แก่ การบวก การลบ และการหาร)

การคูณสามารถนิยามบนจำนวนธรรมชาติว่าเป็นการบวกที่ซ้ำๆ กัน ตัวอย่างเช่น 4 คูณด้วย 3 (หรือเรียกโดยย่อว่า 4 คูณ 3) หมายถึงการบวกจำนวน 4 เข้าไป 3 ชุด ดังนี้

4+4+4 = 12

สำหรับการคูณของจำนวนตรรกยะ (เศษส่วน) และจำนวนจริง ก็นิยามโดยกรณีทั่วไปที่เป็นระบบของแนวความคิดพื้นฐานดังกล่าว

การคูณอาจมองได้จากการนับวัตถุที่จัดเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (สำหรับจำนวนธรรมชาติ) หรือการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยการหนดความยาวของด้านมาให้ (สำหรับจำนวนทั่วไป) ส่วนกลับของการคูณคือการหาร ในเมื่อ 4 คูณด้วย 3 เท่ากับ 12 ดังนั้น 12 หารด้วย 3 ก็จะเท่ากับ 4 เป็นต้น

แหล่งที่มา

 http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93

วันที่ 27 สิงหาคม 2556

สูตรการแยกตัวประกอบของพหุนาม

สูตรการแยกตัวประกอบของพหุนาม

พหุนาม                   พหุนาม คือ นิพจน์สามารถเขียนในรูปเอกนามหรือสามารถเขียนในรูปการบวกของเอกนามตั้ง      แต่สองเอกนามขึ้นไป การแยกตัวประกอบของพหุนาม               การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามนั้นในรูปของการคูณของพหุนามที่มีดีกรี ต่ำกว่าพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนได้ในรูป ax2 + bx +cเมื่อ a, b, c เป็นค่าคง ตัวที่  a > 0 และ x  เป็นตัวแปร การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง             x2+ bx + c เมื่อ b และ c เป็นจำนวนเต็ม ทำได้เมื่อสามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณ กันได้ c และบวกกันได้  b ให้ d และ e แทนจำนวนเต็มสองจำนวนดังกล่าว ดังนั้น                       de = c                   d + e = b             ฉะนั้น x2 + bx + c = x2 + (d + e)x + de                                      = ( x2 + dx ) + ( ex + de )                                      = ( x + d )x + ( x + d )e                                      = ( x + d ) ( x + e )              ดังนั้น x2 + bx +c แยกตัวประกอบได้เป็น ( x + d ) ( x + e )             ตัวอย่าง                   (6x-5) (x+1) = (6x-5) (x) + (6x-5) (1)                                     = 6x2 – 5x + 6x – 5                                     = 6x2 + (5x+6x) – 5                                     = 6x2 -5x +6x -5                                     = 6x2 + x – 5                การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์               กำลังสองสมบูรณ์ คือ พหุนามดีกรีสองที่แยกตัวประกอบแล้วได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่ง ซ้ำกัน              ดังนั้น พหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์แยกตัวประกอบได้ดังนี้                   x2 + 2ax + a2 = ( x + a )2                   x2 – 2ax + a2 = ( x – a )2 รูปทั่วไปของพหุนามที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์คือ a2 +2ab + b2 และ a2 -2ab +b2 เมื่อ a และ b  เป็นพหุนาม  แยกตัวประกอบได้ดังนี้               สูตร a2 +2ab + b2 = ( a + b )2                     a2 -2ab +b2 = (a-b)2       การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง พหุนามดีกรีสองที่สามารถเขียนได้ในรูป x2 – a2 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวกเรียกว่า   ผลต่างของ กำลังสอง              จาก x2 – a2 สามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้ x2 – a2 = ( x + a ) ( x – a )              สูตร x2 – a2 = ( x + a ) (x-a)       การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์            การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง x2 + bx + c โดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ สรุป ได้คือ            1. จัดพหุนามที่กำหนดให้อยู่ในรูป x2 + 2px +c หรือ x2 -2px +c เมื่อ p เป็นจำนวนจริงบวก            2. ทำบางส่วนของพหุนามที่จัดไว้ในข้อ 1 ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์โดยนำกำลังสองของ p                          บวกเข้าและลบออกดังนี้                            x2 + 2px +c = ( x2 + 2px + p2 ) – p2 + c                                              = ( x + p)2 – ( p2 - c )                           x2 – 2px + c = ( x2 - 2px + p2 ) – p2 + c                                              = ( x - p)2 – ( p2 - c )            3. ถ้า p2 – c = d2 เมื่อ d เป็นจำนวนจริงบวกจากข้อ 2 จะได้                           x2 + 2px + c = ( x + p)2 – d2                           x2 - 2px + c = ( x - p)2 – d2            4. แยกตัวประกอบของ ( x + p )2 – d2 หรือ ( x – p )2 – d2 โดยใช้สูตรการแยกตัวประกอบ               ของผลต่างของกำลังสอง               การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม               พหุนามที่อยู่ในรูป A3 + B3 และ A3 - B3 ว่าผลบวกของกำลังสาม ตามลำดับ                         สูตร A3 + B3 = ( A + B )( A2 –AB + B2)                                A3 - B3 = ( A - B )( A2 +AB + B2)

วีดีโอประกอบ

อ้างอิง https://sites.google.com/site/ubol24sites/srup-sutr-kar-yaek-tawprakxb-khxng-phhu-nam วันที่ 4 กันยายน 2556