เรื่องระบบแกนพิกัดฉาก (rectangular coordinate system)

 เรื่องระบบแกนพิกัดฉาก (rectangular coordinate system)

      ในชีวิตประจาวัน เรามักพบสถานการณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองปริมาณอยู่เสมอ         เช่น ระยะทางที่โดยสารรถประจาทางกับค่าโดยสาร ระยะทางที่ใช้ในการเดินทางกับเวลา ปริมาณของน้ำประปาที่ใช้กับค่าน้ำ เราสามารถเขียนแสดงความสัมพันธ์เหล่านี้ในรูปตาราง แผนภาพ คู่อันดับ รวมทั้งการแสดงในรูปอื่น ๆ เช่น กราฟ

กราฟ (graph) คือ ภาพของจุดที่ใช้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณของสองสิ่งโดยใช้ระบบแทนปริมาณด้วยระยะห่างจากเส้นตรงสองเส้น  เส้นตรงแต่ละเส้น เรียกว่า แกน (axis)

ถ้าเส้นตรงทั้งสองตัดกันเป็นมุมฉาก เรียกระบบนั้นว่า ระบบแกนพิกัดฉาก(rectangular coordinate system)

ระบบแกนพิกัดฉาก

 ระบบแกนพิกัดฉาก คือ ระบบที่บอกพิกัดของจุดด้วยระยะห่างจากแกนที่ตัดกันเป็นมุมฉากโดยปกติจะวางแกนทั้งสองในแนวระดับ และแนวดิ่ง

 อักษรที่ใช้เป็นชื่อแกน นิยมใช้ X และ Y                           

 1.   แกน X อยู่ในแนวระดับ เรียกว่า แกนนอน ( horizontal axis )

 2.   แกน Y อยู่ในแนวดิ่ง เรียกว่า แกนตั้ง ( vertical axis )

3.    จุดกำเนิด (origin) คือ จุดที่แกนทั้งสองตัดกันแทนด้วย อักษร O (โอ) O เป็นจุดเริ่มต้นของการนับระยะบนแกนทั้งสองใช้แทน ศูนย์ ( 0 ) ถ้านับมาทางขวาหรือขึ้น ข้างบนเป็นจานวนบวก ( positive) ถ้านับมาทางซ้ายหรือลงข้างล่าง เป็นจานวนลบ ( negative)

4.    พิกัดร่วม (coordinate) คือตำแหน่งของจุดใดๆ บนระนาบของระบบซึ่งกำหนดด้วยระยะทางที่จุดนั้นอยู่ห่างจากแกนทั้งสอง โดยทั่วไปเราเขียนคู่อันดับใด ๆ ในรูป (x, y)เมื่อ x แทนจานวนที่อยู่บนแกน X และ y แทนจานวนที่อยู่บนแกน Y

 x หมายถึง ระยะที่นับบนแกน X เรียกว่า ระยะระดับ (abscissa)

 y หมายถึง ระยะที่นับบนแกน Y เรียกว่า ระยะดิ่ง ( ordinate)

เพื่อแสดงตำแหน่งของคู่อันดับในระบบพิกัดฉาก ถ้าจุด P เป็นจุดบนระนาบที่มีคู่อันดับเป็น (x, y)จะกล่าวว่า P มีพิกัดเป็น (x, y) โดยที่ x เป็นสมาชิกตัวที่หนึ่ง และ y เป็นสมาชิกตัวที่สองและอาจเขียนแทนพิกัดของ P ด้วย P (x, y) เพื่อความสะดวกเรานิยมใช้กระดาษกราฟในการเขียนกราฟซึ่งจะช่วยในการอ่านกราฟได้ง่ายและถูกต้องยิ่งขึ้น

5.  หน่วยบนแกนทั้งสอง บนแกนเดียวกันต้องใช้หน่วยเดียวกัน (ทั้งบวกและลบ) แต่หน่วยบนแกน X อาจใช้หน่วยต่างจากหน่วยบนแกน Y ได้ โดยปกติเราจึงอาจเลือกใช้หน่วยใน แต่ละแกนให้เหมาะสมได้

 6.   จุดที่แกนตัดกันเป็นจุด ( 0, 0) คือ x = 0, y = 0 ดังนั้นจุดกำเนิดหรือจุดO (โอ) จึงตรงกับจุดศูนย์ของแกนทั้งสอง จะเรียกว่าเป็นจุด O (โอ) หรือจุด 0 (ศูนย์) ก็ได้

สิ่งที่ควรรู้เกี่ยวกับแกน X และ แกน Y

สิ่งที่ควรรู้เกี่ยวกับแกน X และ แกน Y จะแบ่งระนาบออกเป็น 4 ส่วนแต่ละส่วนเรียกว่าจตุภาค (Quadrant)    จุด ...... และ ...... มีพิกัดอยู่ในจตุภาคที่ 1 จุด ...... และ ...... มีพิกัดอยู่ในจตุภาคที่ 2 จุด ...... และ ...... มีพิกัดอยู่ในจตุภาคที่ 3 จุด ...... และ ...... มีพิกัดอยู่ในจตุภาคที่ 4

 คู่อันดับ

นักเรียนเคยพบการเขียนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองชุดโดยใช้กราฟ บนระนาบในระบบพิกัดฉากมาแล้ว กราฟที่นักเรียนรู้จักมีทั้งกราฟที่เป็นเส้นตรงและไม่เป็นเส้นตรงในหัวข้อนี้นักเรียนจะได้ศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับกราฟที่มีลักษณะเป็นเส้นตรง ส่วนหนึ่งของเส้นตรงหรือเป็นจุดที่เรียงอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันให้นักเรียนพิจารณาสถานการณ์ต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 1 ในตารางต่อไปนี้ เขียนแผนภาพแสดงการจับคู่ได้ดังนี้ เขียนคู่อันดับแสดงการอ่านและบอกความหมาย ได้ดังนี้ (1, 12) อ่านว่า คู่อันดับหนึ่ง สิบสอง หมายความว่า ไอศกรีม 1 แท่ง ราคา 12 บาท (2, 24) อ่านว่า คู่อันดับสอง ยี่สิบสี่ หมายความว่า ไอศกรีม 2 แท่ง ราคา 24 บาท (3,36) อ่านว่า คู่อันดับสาม สามสิบหก หมายความว่า ไอศกรีม 3 แท่ง ราคา 36 บาท (4, 48) อ่านว่า คู่อันดับสี่ สี่สิบแปด หมายความว่า ไอศกรีม 4 แท่ง ราคา 48 บาท (5, 60) อ่านว่า คู่อันดับห้า หกสิบ หมายความว่า ไอศกรีม 5 แท่ง ราคา 60 บาท

ตัวอย่างที่ 2 จากแผนภาพที่กำหนดให้ จงเขียนคู่อันดับ และกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนดินสอและราคา วิธีทำ แผนภาพแสดงการจับคู่ระหว่างจำนวนดินสอและราคา ได้ดังนี้ เขียนกราฟและแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนดินสอกับราคา ได้ดังนี้

      ระบบพิกัดฉากสามแกน
กำหนดเส้นตรง XX' , YY' และ ZZ' เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด O และตั้งฉากซึ่งกันและกันโดยกำหนด ทิศทางของเส้นตรงทั้งสามเป็นระบบมือขวา ดังรูป 1

รูป 1

                ถ้าเส้นตรงทั้งสามเป็นเส้นจำนวน (real line) จะเรียกเส้นตรง XX' , YY' และ ZZ' ว่า

แกนพิกัด X แกนพิกัด Y และ แกนพิกัด Z หรือเรียนสั้นๆ ว่า แกน X (x-axis) แกน Y (y-axis) และ แกนZ (z-axis) และเรียนจุด O ว่า จุดกำเนิด (origin) ดังรูป 2                    

                                         

รูป 2

           เรียกส่วนของเส้นตรง OX OY และ OZ ว่า แกน X ทางบวก (positive x-axis) แกน Y ทางบวก (positive y-axis) และ แกน Z ทางบวก (positive z-axis) และเรียกส่วนของเส้นตรง OX' OY' และ OZ' ว่า แกน X ทางลบ (negative x-axis) แกน Y ทางลบ (negative y-axis) และแกน Z ทางลบ (negative z-axis)                โดยทั่วไปเมื่อเขียนรูปแกนพิกัดในสามมิติ นิยมเขียนเฉพาะ แกน X แกน Y และ แกน Z ที่เน้นเฉพาะทางด้านที่แทนจำนวนจริงบวกซึ่งมีหัวลูกศรกำกับ ดังรูป 3 หรือ รูป 4

     รูป 3                                                               รูป 4

แกน X แกน Y และ แกน Z จะกำหนดระนาบขึ้น 3 ระนาบ เรียกว่า ระนาบอ้างอิง
• เรียกระนาบที่กำหนดด้วย แกน X และแกน Y ว่า ระนาบอ้างอิง XY หรือ ระนาบ XY
• เรียกระนาบที่กำหนดด้วย แกน X และแกน Z ว่า ระนาบอ้างอิง XZ หรือ ระนาบ XZ
             • เรียกระนาบที่กำหนดด้วย แกน Y และแกน Z ว่าระนาบอ้างอิง YZ หรือ ระนาบ YZ (ดังรูป 5)

รูป 5

ระนาบ XY ระนาบ YZ และระนาบ XZ ทั้งสามระนาบ จะแบ่งปริภูมิสามมิติ ออกเป็น 8 บริเวณ คือ เหนือระนาบ XY จำนวน 4 บริเวณ และใต้ระนาบ XY จำนวน 4 บริเวณ เรียกแต่ละบริเวณว่า อัฒภาค (octant) ดังรูปที่ 6 อัฒภาคที่บรรจุ แกน X แกน Y และแกน Z ทางบวกจะเรียกว่า อัฒภาคที่ 1 ส่วนอัฒภาคอื่นๆ จะใช้ข้อตกลงเดียวกับในระบบพิกัดฉากสองมิติ (นับทวนเข็มนาฬิกา) โดยพิจารณาบริเวณเหนือระนาบ XY ก่อน 

การใช้ประโยชน์ในระบบพิกัดฉาก

ระบบพิกัดในงานด้านแผนที่

แผนที่เป็นสื่อชนิดหนึ่งที่ทำหน้าที่ไม่ต่างจากสื่ออื่นๆคือเก็บและแสดงข้อมูลข่าวสารที่มีประโยชน์แก่ผู้ใช้ แผนที่ก็เหมือนสื่ออื่นๆที่ล้วนแต่มีรูปแบบในการเก็บและแสดงข้อมูลที่เป็นเอกลักษณ์เฉพาะของมัน เช่น ข้อความในเอกสารก็ต้องเป็นไปตามไวยากรณ์ของภาษาที่ใช้ แผนที่ก็เช่นกันต้องมีรูปแบบหรือไวยากรณ์ของมัน ไวยากรณ์ที่เป็นเอกลักษณ์อันหนึ่งของแผนที่ก็คือข้อมูลที่อยู่ในแผนที่นั้นเก็บตำแหน่งของสิ่งต่างๆบนโลกและแสดงข้อมูลนั้นตามตำแหน่งที่สามารถสื่อให้ผู้ใช้รู้ถึงตำแหน่งและความสัมพันธ์ทางตำแหน่งของสิ่งที่สนใจบนโลก  ดังนั้นในทุกขั้นตอนของการทำแผนที่จึงล้วนเกี่ยวข้องกับการกำหนด,จัดการและแสดงตำแหน่งของสิ่งต่างๆที่อยู่บนโลก เริ่มตั้งแต่การสำรวจทั้งทางพื้นดินและทางอากาศ เพื่อจัดเก็บข้อมูลตำแหน่งของสิ่งต่างๆโดยอ้างอิงระบบพิกัดสามมิติ ไปจนถึงการแสดงข้อมูลตำแหน่งนั้นบนแผนที่ซึ่งเป็นระนาบสองมิติ ตำแหน่งของสิ่งต่างๆเหล่านั้นโดยทั่วไปแล้วแสดงในรูปของพิกัด ซึ่งเป็นตัวเลขหรือตัวอักษร หรือทั้งสองอย่างที่อ้างอิงอยู่กับจุดกำเนิดและแกนของระบบพิกัดเพื่อประโยชน์ในการกำหนดตำแหน่งของสิ่งที่ต้องการ

การจำแนกระบบพิกัดตามมิติ

ระบบพิกัดที่ใช้มากในงานแผนที่คือ ระบบพิกัดสองมิติ และ ระบบพิกัดสามมิติ ระบบพิกัดสองมิติใช้กำหนดตำแหน่งของจุดบนระนาบ เช่น การแสดงข้อมูลบนแผนที่ที่แสดงพิกัดหนึ่งในการกำหนดตำแหน่งในแนวตะวันออก-ตะวันตก และ อีกพิกัดหนึ่งในการกำหนดตำแหน่งในแนวเหนือ-ใต้ เช่น ตำแหน่งของหมู่บ้านหนึ่งอยู่ที่พิกัด (697700 ม.,1618600 ม.) ตัวอย่างของระบบพิกัดสองมิติได้แก่ ระบบพิกัด UTM (Universal Transverse Mercator) ที่ใช้ในแผนที่ภูมิประเทศของกรมแผนที่ทหาร ส่วนการกำหนดตำแหน่งบนโลกมักเป็นระบบพิกัดสามมิติ เช่น การกำหนดพิกัดโดยใช้ค่าลองจิจูด แลตติจูด และ ความสูงจากระดับทะเลปานกลาง ในการแสดงตำแหน่งของสิ่งต่างๆบนโลกที่อยู่ในระบบพิกัดสามมิติลงบนแผนที่ที่เป็นสองมิติ ทำผ่านกระบวนการฉายแผนที่ การวัดระยะบนแนวเส้นตรงนับได้ว่าเป็นระบบพิกัดหนึ่งมิติที่แสดงพิกัดในรูปของระยะที่วัดในแนวเส้นตรงนั้นจากจุดที่กำหนดเป็นจุดเริ่ม

การจำแนกระบบพิกัดตามลักษณะของแกนอ้างอิง

การจำแนกระบบพิกัดตามลักษณะของแกนอ้างอิงสามารถจำแนกระบบพิกัดออกได้เป็นระบบพิกัดฉาก (rectangular หรือ Cartesian) และ ระบบพิกัดขั้ว (polar หรือ spherical) ระบบพิกัดฉากเป็นการกำหนดพิกัดโดยมีแกนที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันเป็นแกนอ้างอิง การกำหนดพิกัดทำโดยระยะที่วัดเป็นแนวตั้งฉากกับแกนอ้างอิงแต่ละแกน ส่วนระบบพิกัดขั้วนั้นกำหนดตำแหน่งโดยใช้ระยะและมุม ระบบพิกัดขั้วเป็นการกำหนดจุดกำเนิดและแนวหรือระนาบอ้างอิง พิกัดจะแสดงในรูปของระยะที่วัดจากจุดกำเนิดที่กำหนดและมุมที่วัดจากแนวหรือระนาบอ้างอิง

การจำแนกระบบพิกัดตามจุดกำเนิด

การจำแนกแบบนี้สามารถจำแนกระบบพิกัดออกเป็นระบบพิกัดที่มีจุดกำเนิดอยู่ที่จุดศูนย์กลางของโลกและระบบพิกัดที่มีจุดกำเนิดบนผิวโลก ตัวอย่างของระบบพิกัดที่มีจุดกำเนิดอยู่ที่จุดศูนย์กลางของโลกได้แก่ระบบที่ใช้กำหนดพิกัดบนโลกเช่นระบบพิกัดภูมิศาสตร์ ส่วนระบบพิกัดบนแผนที่โดยทั่วไปแล้วเป็นระบบพิกัดที่มีจุดกำเนิดบนผิวโลก

วีดีโอการลงจุดบยระบบพิกัดฉาก

แหล่งสืบค้นข้อมูล

http://sites.google.com/site/winterflowersrose/home/rabb-phikad-chak

http://www.rtsd.mi.th/section/school/coordinate/coordinate.htm

http://www.youtube.com/watch?v=UiXU4Cv1ylw
วันที่ 5 กันยายน 2556